Выражения, уравнения и неравенства · 10 класс
16 занятий: объяснение, разобранный пример, восемь задач и проверка рассуждения.
Порядок поможет разобраться постепенно. Любое занятие можно открыть сразу.
Твой маршрут
- 01Дроби и проценты в моделяхОткрыть
Дроби и проценты в моделях
Целое разделено на 100 равных долей. Одна доля — это целое, делённое на 100; число выбранных долей задаёт, сколько таких частей взять. Процент — одна сотая целого.
- Применять правило темы «Дроби и проценты в моделях» и объяснять проверку ответа.
- 02Целые степени и стандартная записьОткрыть
Целые степени и стандартная запись
Степень aⁿ при натуральном n — произведение n одинаковых множителей. Для ненулевого a: a⁰ = 1 и a⁻ⁿ = 1/aⁿ. При умножении степеней одного основания показатели складывают, при возведении степени в степень перемножают.
- Применять правило темы «Целые степени и стандартная запись» и объяснять проверку ответа.
- 03Действительные числа и приближенияОткрыть
Действительные числа и приближения
Арифметический квадратный корень √a при a ≥ 0 — неотрицательное число, квадрат которого равен a. Поэтому √(x²) = |x|. Корни можно перемножать при неотрицательных подкоренных выражениях, но корень суммы обычно не равен сумме корней.
- Применять правило темы «Действительные числа и приближения» и объяснять проверку ответа.
- 04Корни натуральной степениОткрыть
Корни натуральной степени
Корень n-й степени из a — число, n-я степень которого равна a. Арифметический корень выбирают неотрицательным. При чётном n вещественный корень требует a ≥ 0; при нечётном n существует также корень из отрицательного числа.
- Применять правило темы «Корни натуральной степени» и объяснять проверку ответа.
- 05Рациональные выражения и ОДЗОткрыть
Рациональные выражения и ОДЗ
Дробь с переменной определена, когда её знаменатель не равен нулю. Сокращать можно общие множители числителя и знаменателя, сохраняя исходные ограничения. При умножении уравнения на знаменатель сначала зафиксируй запретные значения.
- Применять правило темы «Рациональные выражения и ОДЗ» и объяснять проверку ответа.
- 06Квадратные и целые уравненияОткрыть
Квадратные и целые уравнения
Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 при a ≠ 0 можно решить разложением на множители или через D = b² − 4ac. При D > 0 два корня, при D = 0 один, при D < 0 действительных корней нет. По Виету для приведённого уравнения сумма корней равна −b, произведение c.
- Применять правило темы «Квадратные и целые уравнения» и объяснять проверку ответа.
- 07Метод интерваловОткрыть
Метод интервалов
Решение неравенства — все числа, для которых сравнение верно. При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак сравнения меняется. Систему решают пересечением множеств решений.
- Применять правило темы «Метод интервалов» и объяснять проверку ответа.
- 08Иррациональные уравнения и проверкаОткрыть
Иррациональные уравнения и проверка
Перед возведением в квадрат выдели корень и определи допустимые значения. Из √f(x) = g(x) следует f(x) = g²(x) и g(x) ≥ 0. Без этого условия могут появиться посторонние корни; каждый кандидат проверяют в исходном уравнении.
- Применять правило темы «Иррациональные уравнения и проверка» и объяснять проверку ответа.
- 09Числовая окружность и радианыОткрыть
Числовая окружность и радианы
Единичная окружность задаёт cos x как абсциссу, sin x как ординату. Основное тождество sin² x + cos² x = 1 работает для всех x; tg x определён при cos x ≠ 0. При решении уравнений сохраняй все серии корней и отдельно отбирай нужный промежуток.
- Применять правило темы «Числовая окружность и радианы» и объяснять проверку ответа.
- 10Тригонометрические тождестваОткрыть
Тригонометрические тождества
Единичная окружность задаёт cos x как абсциссу, sin x как ординату. Основное тождество sin² x + cos² x = 1 работает для всех x; tg x определён при cos x ≠ 0. При решении уравнений сохраняй все серии корней и отдельно отбирай нужный промежуток.
- Применять правило темы «Тригонометрические тождества» и объяснять проверку ответа.
- 11Тригонометрические уравненияОткрыть
Тригонометрические уравнения
Единичная окружность задаёт cos x как абсциссу, sin x как ординату. Основное тождество sin² x + cos² x = 1 работает для всех x; tg x определён при cos x ≠ 0. При решении уравнений сохраняй все серии корней и отдельно отбирай нужный промежуток.
- Применять правило темы «Тригонометрические уравнения» и объяснять проверку ответа.
- 12Функция и преобразование графикаОткрыть
Функция и преобразование графика
Линейная функция имеет вид y = kx + b. Здесь b = 7; коэффициент k показывает изменение y при увеличении x на 1. График — прямая; для построения достаточно двух точек.
- Применять правило темы «Функция и преобразование графика» и объяснять проверку ответа.
- 13Степенная функцияОткрыть
Степенная функция
Функция y = kx² при k ≠ 0 имеет график параболу. Значения при x и −x совпадают. При k > 0 вершина даёт наименьшее значение, при k < 0 — наибольшее.
- Применять правило темы «Степенная функция» и объяснять проверку ответа.
- 14Арифметическая прогрессияОткрыть
Арифметическая прогрессия
В арифметической прогрессии разность соседних членов постоянна: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Число переходов на единицу меньше номера члена. Сумма первых n членов равна n(a₁ + aₙ)/2.
- Применять правило темы «Арифметическая прогрессия» и объяснять проверку ответа.
- 15Геометрическая прогрессия и сложные процентыОткрыть
Геометрическая прогрессия и сложные проценты
В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на q. bₙ = b₁qⁿ⁻¹. При q ≠ 1 сумма первых n членов b₁(qⁿ − 1)/(q − 1); при |q| < 1 сумма бесконечной прогрессии b₁/(1 − q).
- Применять правило темы «Геометрическая прогрессия и сложные проценты» и объяснять проверку ответа.
- 16Системы и прикладные моделиОткрыть
Системы и прикладные модели
Система требует одновременно выполнить оба уравнения. При подстановке вырази одну переменную и замени ею соответствующее выражение во втором уравнении. При сложении уравнений подбирай коэффициенты так, чтобы одна переменная исчезла.
- Применять правило темы «Системы и прикладные модели» и объяснять проверку ответа.