Геометрия и пространственные отношения · 8 класс
12 занятий: объяснение, разобранный пример, восемь задач и проверка рассуждения.
Порядок поможет разобраться постепенно. Любое занятие можно открыть сразу.
Твой маршрут
- 01Параллелограммы и трапецииОткрыть
Параллелограммы и трапеции
У параллелограмма противоположные стороны и углы равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Прямоугольник дополнительно имеет прямые углы и равные диагонали; ромб — равные стороны и перпендикулярные диагонали. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
- Применять правило темы «Параллелограммы и трапеции» и объяснять проверку ответа.
- 02Подобие треугольниковОткрыть
Подобие треугольников
Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы и пропорциональные соответствующие стороны. При коэффициенте подобия k длины и периметры изменяются в k раз, площади — в k² раз.
- Применять правило темы «Подобие треугольников» и объяснять проверку ответа.
- 03Масштаб и отношение площадейОткрыть
Масштаб и отношение площадей
Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы и пропорциональные соответствующие стороны. При коэффициенте подобия k длины и периметры изменяются в k раз, площади — в k² раз.
- Применять правило темы «Масштаб и отношение площадей» и объяснять проверку ответа.
- 04Площадь треугольникаОткрыть
Площадь треугольника
Два равных треугольника можно сложить в параллелограмм. Поэтому площадь треугольника равна половине произведения основания на проведённую к нему высоту.
- Применять правило темы «Площадь треугольника» и объяснять проверку ответа.
- 05Площадь параллелограммаОткрыть
Площадь параллелограмма
Перенос треугольной части параллелограмма позволяет получить равновеликий прямоугольник. Площадь равна основанию, умноженному на высоту к этому основанию.
- Применять правило темы «Площадь параллелограмма» и объяснять проверку ответа.
- 06Площадь ромбаОткрыть
Площадь ромба
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Четыре прямоугольных треугольника дают площадь, равную половине произведения диагоналей.
- Применять правило темы «Площадь ромба» и объяснять проверку ответа.
- 07Площадь трапецииОткрыть
Площадь трапеции
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту. Полусумма оснований — длина средней линии, поэтому S = m · h.
- Применять правило темы «Площадь трапеции» и объяснять проверку ответа.
- 08Теорема ПифагораОткрыть
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b². Для нахождения катета вычитают квадрат другого катета. Обратная теорема позволяет проверить прямой угол по длинам сторон.
- Применять правило темы «Теорема Пифагора» и объяснять проверку ответа.
- 09Синус, косинус и тангенс острого углаОткрыть
Синус, косинус и тангенс острого угла
В прямоугольном треугольнике для острого угла sin α — отношение противолежащего катета к гипотенузе, cos α — прилежащего катета к гипотенузе, tg α — противолежащего к прилежащему. Основное тождество: sin² α + cos² α = 1.
- Применять правило темы «Синус, косинус и тангенс острого угла» и объяснять проверку ответа.
- 10Вписанный и центральный уголОткрыть
Вписанный и центральный угол
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается; центральный угол равен этой дуге. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
- Применять правило темы «Вписанный и центральный угол» и объяснять проверку ответа.
- 11Касание окружностей и касательныеОткрыть
Касание окружностей и касательные
Окружность состоит из точек на одном расстоянии от центра. Радиус к точке касания перпендикулярен касательной. Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр. Отрезки касательных, проведённых из одной внешней точки, равны.
- Применять правило темы «Касание окружностей и касательные» и объяснять проверку ответа.
- 12Подобие, площадь и объём при увеличенииОткрыть
Подобие, площадь и объём при увеличении
При подобии с коэффициентом k все длины умножаются на k, площади на k², объёмы на k³. Коэффициент зависит от выбранного направления сравнения. При центральной симметрии относительно начала координат все координаты меняют знак.
- Применять правило темы «Подобие, площадь и объём при увеличении» и объяснять проверку ответа.