Выражения, уравнения и неравенства · 11 класс
15 занятий: объяснение, разобранный пример, восемь задач и проверка рассуждения.
Порядок поможет разобраться постепенно. Любое занятие можно открыть сразу.
Твой маршрут
- 01Целые числа и делимостьОткрыть
Целые числа и делимость
Делитель числа делит его без остатка, кратное получается умножением числа на целое. Простое число больше 1 имеет ровно два положительных делителя. НОД ищет общие делители, НОК — общее кратное.
- Применять правило темы «Целые числа и делимость» и объяснять проверку ответа.
- 02Рациональные степени и показательные уравненияОткрыть
Рациональные степени и показательные уравнения
Показательная функция aˣ определена при a > 0, a ≠ 1. При a > 1 она возрастает, при 0 < a < 1 убывает. Равные степени одного допустимого основания имеют равные показатели. Степень aᵐ⁄ⁿ при a > 0 связывается с корнем n-й степени.
- Применять правило темы «Рациональные степени и показательные уравнения» и объяснять проверку ответа.
- 03Логарифмы, свойства и уравненияОткрыть
Логарифмы, свойства и уравнения
Логарифм logₐ b — показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Требования: a > 0, a ≠ 1, b > 0. Логарифм произведения равен сумме логарифмов, логарифм степени — произведению показателя и логарифма основания степени при допустимых значениях.
- Применять правило темы «Логарифмы, свойства и уравнения» и объяснять проверку ответа.
- 04Рациональные выражения и ОДЗОткрыть
Рациональные выражения и ОДЗ
Дробь с переменной определена, когда её знаменатель не равен нулю. Сокращать можно общие множители числителя и знаменателя, сохраняя исходные ограничения. При умножении уравнения на знаменатель сначала зафиксируй запретные значения.
- Применять правило темы «Рациональные выражения и ОДЗ» и объяснять проверку ответа.
- 05Системы и совокупности неравенствОткрыть
Системы и совокупности неравенств
Решение неравенства — все числа, для которых сравнение верно. При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак сравнения меняется. Систему решают пересечением множеств решений.
- Применять правило темы «Системы и совокупности неравенств» и объяснять проверку ответа.
- 06Линейные системы и моделиОткрыть
Линейные системы и модели
Система требует одновременно выполнить оба уравнения. При подстановке вырази одну переменную и замени ею соответствующее выражение во втором уравнении. При сложении уравнений подбирай коэффициенты так, чтобы одна переменная исчезла.
- Применять правило темы «Линейные системы и модели» и объяснять проверку ответа.
- 07Периодические функции и уравненияОткрыть
Периодические функции и уравнения
Единичная окружность задаёт cos x как абсциссу, sin x как ординату. Основное тождество sin² x + cos² x = 1 работает для всех x; tg x определён при cos x ≠ 0. При решении уравнений сохраняй все серии корней и отдельно отбирай нужный промежуток.
- Применять правило темы «Периодические функции и уравнения» и объяснять проверку ответа.
- 08Преобразование тригонометрических выраженийОткрыть
Преобразование тригонометрических выражений
Единичная окружность задаёт cos x как абсциссу, sin x как ординату. Основное тождество sin² x + cos² x = 1 работает для всех x; tg x определён при cos x ≠ 0. При решении уравнений сохраняй все серии корней и отдельно отбирай нужный промежуток.
- Применять правило темы «Преобразование тригонометрических выражений» и объяснять проверку ответа.
- 09Монотонность и графическая модельОткрыть
Монотонность и графическая модель
Линейная функция имеет вид y = kx + b. Здесь b = 2; коэффициент k показывает изменение y при увеличении x на 1. График — прямая; для построения достаточно двух точек.
- Применять правило темы «Монотонность и графическая модель» и объяснять проверку ответа.
- 10Производная: скорость и касательнаяОткрыть
Производная: скорость и касательная
Производная описывает мгновенную скорость изменения функции и наклон касательной. (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹; производная суммы равна сумме производных. Для произведения (uv)′ = u′v + uv′, для частного (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² при v ≠ 0. Для экстремумов анализируй знак производной, а на отрезке также сравнивай значения на концах.
- Применять правило темы «Производная: скорость и касательная» и объяснять проверку ответа.
- 11Правила дифференцированияОткрыть
Правила дифференцирования
Производная описывает мгновенную скорость изменения функции и наклон касательной. (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹; производная суммы равна сумме производных. Для произведения (uv)′ = u′v + uv′, для частного (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² при v ≠ 0. Для экстремумов анализируй знак производной, а на отрезке также сравнивай значения на концах.
- Применять правило темы «Правила дифференцирования» и объяснять проверку ответа.
- 12Экстремумы и оптимизацияОткрыть
Экстремумы и оптимизация
Производная описывает мгновенную скорость изменения функции и наклон касательной. (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹; производная суммы равна сумме производных. Для произведения (uv)′ = u′v + uv′, для частного (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² при v ≠ 0. Для экстремумов анализируй знак производной, а на отрезке также сравнивай значения на концах.
- Применять правило темы «Экстремумы и оптимизация» и объяснять проверку ответа.
- 13Первообразная и интегралОткрыть
Первообразная и интеграл
Первообразная F для f удовлетворяет F′ = f. Все первообразные на промежутке отличаются постоянной. Определённый интеграл от a до b равен F(b) − F(a). Если f неотрицательна, это площадь под графиком; при смене знака геометрическую площадь считают по частям.
- Применять правило темы «Первообразная и интеграл» и объяснять проверку ответа.
- 14Сложные проценты и прогрессииОткрыть
Сложные проценты и прогрессии
В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на q. bₙ = b₁qⁿ⁻¹. При q ≠ 1 сумма первых n членов b₁(qⁿ − 1)/(q − 1); при |q| < 1 сумма бесконечной прогрессии b₁/(1 − q).
- Применять правило темы «Сложные проценты и прогрессии» и объяснять проверку ответа.
- 15Квадратная модель и проверка условийОткрыть
Квадратная модель и проверка условий
Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 при a ≠ 0 можно решить разложением на множители или через D = b² − 4ac. При D > 0 два корня, при D = 0 один, при D < 0 действительных корней нет. По Виету для приведённого уравнения сумма корней равна −b, произведение c.
- Применять правило темы «Квадратная модель и проверка условий» и объяснять проверку ответа.