Геометрия и пространственные отношения · 11 класс
9 занятий: объяснение, разобранный пример, восемь задач и проверка рассуждения.
Порядок поможет разобраться постепенно. Любое занятие можно открыть сразу.
Твой маршрут
- 01Координаты и векторы в пространствеОткрыть
Координаты и векторы в пространстве
Вектор в координатах находят вычитанием координат начала из координат конца. Квадрат длины (x; y; z) равен x² + y² + z². Скалярное произведение — сумма попарных произведений координат; для ненулевых векторов его нуль означает перпендикулярность.
- Применять правило темы «Координаты и векторы в пространстве» и объяснять проверку ответа.
- 02Цилиндр: объёмОткрыть
Цилиндр: объём
Основание цилиндра — круг площадью πr², поэтому V = πr²h. Радиус в формуле возводится в квадрат.
- Применять правило темы «Цилиндр: объём» и объяснять проверку ответа.
- 03Развёртка и полная поверхность цилиндраОткрыть
Развёртка и полная поверхность цилиндра
Полная поверхность цилиндра состоит из двух кругов и боковой поверхности. Развёртка боковой поверхности — прямоугольник со сторонами 2πr и h.
- Применять правило темы «Развёртка и полная поверхность цилиндра» и объяснять проверку ответа.
- 04Конус: объём и высотаОткрыть
Конус: объём и высота
Конус имеет объём V = πr²h/3. В прямом круговом конусе радиус, высота и образующая составляют прямоугольный треугольник.
- Применять правило темы «Конус: объём и высота» и объяснять проверку ответа.
- 05Шар и сфераОткрыть
Шар и сфера
Шар — тело, сфера — его поверхность. Объём шара V = 4πr³/3, площадь сферы S = 4πr².
- Применять правило темы «Шар и сфера» и объяснять проверку ответа.
- 06Объём пирамиды и подобные сеченияОткрыть
Объём пирамиды и подобные сечения
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Боковое ребро обычно не совпадает с высотой.
- Применять правило темы «Объём пирамиды и подобные сечения» и объяснять проверку ответа.
- 07Расстояния в геометрической моделиОткрыть
Расстояния в геометрической модели
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b². Для нахождения катета вычитают квадрат другого катета. Обратная теорема позволяет проверить прямой угол по длинам сторон.
- Применять правило темы «Расстояния в геометрической модели» и объяснять проверку ответа.
- 08Углы и тригонометрические отношенияОткрыть
Углы и тригонометрические отношения
В прямоугольном треугольнике для острого угла sin α — отношение противолежащего катета к гипотенузе, cos α — прилежащего катета к гипотенузе, tg α — противолежащего к прилежащему. Основное тождество: sin² α + cos² α = 1.
- Применять правило темы «Углы и тригонометрические отношения» и объяснять проверку ответа.
- 09Подобие, площадь и объём при увеличенииОткрыть
Подобие, площадь и объём при увеличении
При подобии с коэффициентом k все длины умножаются на k, площади на k², объёмы на k³. Коэффициент зависит от выбранного направления сравнения. При центральной симметрии относительно начала координат все координаты меняют знак.
- Применять правило темы «Подобие, площадь и объём при увеличении» и объяснять проверку ответа.