Каждому — свой или один для всех?
Различать ∀x∃y и ∃y∀x · Показывать зависимость свидетеля от выбранного объекта
В этом занятии
- Различать ∀x∃y и ∃y∀x
- Показывать зависимость свидетеля от выбранного объекта
- Строить небольшую модель отношений
Пригодится: Рекомендуем сначала пройти ««Все», «некоторые», «ни один»».
Разберёмся перед практикой+
Каждому — свой или один для всех?
При нескольких кванторах порядок становится частью смысла. «Для каждого участника существует удобное время» допускает, что у людей разные времена. «Существует время, удобное каждому» требует одного общего времени. Первое утверждение само по себе не гарантирует второго.
Запись ∀x∃y R(x,y) разрешает выбирать y после того, как выбран x. В ∃y∀x R(x,y) сначала фиксируется один y, который должен подходить всем x. Удобно читать формулу как последовательность выборов и проверять, какой объект разрешено менять.
Чтобы различить утверждения, достаточно маленькой модели. Пусть у Ани удобен только понедельник, а у Бориса — только вторник. У каждого есть день, но общего дня нет. Таблица отношений делает такой контрпример нагляднее: строки — люди, столбцы — дни, отметки — подходящие пары.
Не всякая перестановка кванторов меняет смысл. Два всеобщих квантора можно переставить; два квантора существования — тоже. Опасна прежде всего смена зависимости при сочетании ∀ и ∃. Не нужно запоминать лозунг «всегда нельзя менять порядок»: проверяйте конкретную структуру.
У Ани подходит только слот 1, у Бориса только слот 2. У каждого есть подходящий слот, но слот, подходящий обоим, отсутствует.
- Для Ани выбираем слот 1: есть свидетель существования.
- Для Бориса выбираем слот 2: у него свой свидетель.
- Проверяем общий выбор: слот 1 не подходит Борису, слот 2 — Ане.
- Итак, ∀участник∃слот истинно, а ∃слот∀участник ложно.
Загружаем интерактивную модель…
Попробуй самостоятельно
Запиши рассуждения в черновик или сделай построение на бумаге. Эти задания для самостоятельной работы: автоматической проверки и XP за них пока нет.
- Объясни, почему «у каждой двери есть ключ» ещё не означает «есть ключ от всех дверей». Нарисуй два разных ключа.
- Для небольшой команды составь таблицу удобных времён. Отдельно проверь наличие хотя бы одного времени в каждой строке и наличие столбца, подходящего всем.
Читай и разбирай пример в своём темпе. К практике можно перейти, когда будешь готов.