Контрпример: один случай против общего правила
Находить объект, который удовлетворяет условию и нарушает вывод · Отличать подтверждающий пример от доказательства
В этом занятии
- Находить объект, который удовлетворяет условию и нарушает вывод
- Отличать подтверждающий пример от доказательства
- Исправлять гипотезу после опровержения
Пригодится: Рекомендуем сначала пройти «Каждому — свой или один для всех?».
Разберёмся перед практикой+
Контрпример: один случай против общего правила
Универсальное утверждение «для всех объектов из D выполняется P» опровергает один объект из D, для которого P ложно. Число подтверждений не защищает от настоящего исключения. Тысяча проверенных случаев полезна для поиска закономерности, но не всегда заменяет доказательство для бесконечного класса.
Контрпример обязан соблюдать область и все условия. Отрицательное число не опровергает правило, заявленное только для положительных чисел. Файл другого формата не опровергает утверждение, ограниченное PDF. Сначала проверь, имеет ли выбранный объект право участвовать в проверке.
Для условного утверждения «если A, то B» ищут A вместе с ¬B. Случай ¬A не помогает, даже если B тоже ложно. Для утверждения существования работа другая: один удачный объект подтверждает его, а один неудачный объект не доказывает, что других подходящих нет.
После контрпримера можно отказаться от гипотезы, уточнить область или добавить обоснованное условие. Нельзя молча объявлять найденное исключение «не настоящим объектом» только ради спасения тезиса. Новая версия должна быть сформулирована явно и проверена заново.
Гипотеза: «Квадрат любого целого числа строго больше самого числа». Число 0 уже опровергает её: 0²=0, а строгое неравенство не выполнено.
- Область — все целые числа;0 в неё входит.
- Вычисляем квадрат 0: получается 0.
- Сравниваем с точным утверждением: требовалось строго больше, а вышло равно.
- Гипотеза опровергнута. Версию с дополнительным условием нужно сформулировать и обосновать отдельно.
Загружаем интерактивную модель…
Попробуй самостоятельно
Запиши рассуждения в черновик или сделай построение на бумаге. Эти задания для самостоятельной работы: автоматической проверки и XP за них пока нет.
- Сравни задачи «найти хотя бы один подходящий объект» и «проверить, что подходят все». Какие примеры завершают каждую из них?
- Придумай правило о чётных числах, затем намеренно попробуй опровергнуть его нечётным. Объясни, почему такой пример не относится к делу.
Читай и разбирай пример в своём темпе. К практике можно перейти, когда будешь готов.