Вероятность и статистика · 11 класс
8 занятий: объяснение, разобранный пример, восемь задач и проверка рассуждения.
Порядок поможет разобраться постепенно. Любое занятие можно открыть сразу.
Твой маршрут
- 01Статистика и взвешенные средниеОткрыть
Статистика и взвешенные средние
Среднее арифметическое равно сумме значений, делённой на их количество. Медиану ищут после упорядочивания; для чётного количества это среднее двух центральных. Размах — разность максимума и минимума. Дисперсия числового набора — среднее квадратов отклонений от его среднего.
- Применять правило темы «Статистика и взвешенные средние» и объяснять проверку ответа.
- 02Условная вероятность в моделяхОткрыть
Условная вероятность в моделях
Для любых событий P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Вероятность пересечения равна P(A) · P(B|A); при независимости условная вероятность совпадает с P(B). Несовместность означает невозможность одновременного наступления.
- Применять правило темы «Условная вероятность в моделях» и объяснять проверку ответа.
- 03Перестановки, сочетания и правило умноженияОткрыть
Перестановки, сочетания и правило умножения
Правило умножения считает последовательность независимых по выбору этапов. Перестановки n различных объектов считаются n!. Сочетание выбирает k объектов из n без учёта порядка: C(n,k) = n!/(k!(n−k)!). В биноме Ньютона эти числа служат коэффициентами.
- Применять правило темы «Перестановки, сочетания и правило умножения» и объяснять проверку ответа.
- 04Испытания Бернулли и первый успехОткрыть
Испытания Бернулли и первый успех
В схеме Бернулли проводится n независимых испытаний с одной и той же вероятностью успеха p. Вероятность ровно k успехов равна C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ. Для первого успеха на испытании k сначала нужны k−1 неудач: (1−p)ᵏ⁻¹p.
- Применять правило темы «Испытания Бернулли и первый успех» и объяснять проверку ответа.
- 05Математическое ожидание и дисперсияОткрыть
Математическое ожидание и дисперсия
Математическое ожидание дискретной величины — сумма произведений её значений на соответствующие вероятности. Дисперсия равна E(X²) − E(X)². E(X + Y) = E(X) + E(Y) даже без независимости; для сложения дисперсий независимость является достаточным условием.
- Применять правило темы «Математическое ожидание и дисперсия» и объяснять проверку ответа.
- 06Непрерывные модели и закон больших чиселОткрыть
Непрерывные модели и закон больших чисел
У непрерывной величины вероятность интервала равна площади под плотностью на этом интервале; вся площадь равна 1. Для нормального распределения плотность симметрична относительно среднего. Закон больших чисел описывает стабилизацию средних и частот при большом числе наблюдений в подходящих условиях, не гарантируя точный исход конкретной серии.
- Применять правило темы «Непрерывные модели и закон больших чисел» и объяснять проверку ответа.
- 07Логика и проверка выводовОткрыть
Логика и проверка выводов
Множество хранит разные элементы без повторов. Объединение содержит элементы хотя бы одного множества, пересечение — общие, дополнение берут относительно заранее выбранного универсального множества.
- Применять правило темы «Логика и проверка выводов» и объяснять проверку ответа.
- 08Дерево опыта и полная вероятностьОткрыть
Дерево опыта и полная вероятность
Разбей опыт на несовместные случаи, которые вместе покрывают все возможности. Вероятность конечного события равна сумме вероятностей путей к нему: P(A) = ΣP(Hᵢ)P(A|Hᵢ). На ветвях умножают, между непересекающимися путями складывают.
- Применять правило темы «Дерево опыта и полная вероятность» и объяснять проверку ответа.