Связки и правила: от слов к таблице истинностиЛогика / Системно перечислять наборы значений Пробное занятие
Логика · шаг 8 из 32

Таблица истинности: проверяем все случаи

Системно перечислять наборы значений · Различать тождественную истину, противоречие и выполнимость

Около 18 минут 5 задач Подсказки рядом

В этом занятии

  • Системно перечислять наборы значений
  • Различать тождественную истину, противоречие и выполнимость
  • Находить контрстроку для аргумента

Пригодится: Рекомендуем сначала пройти «Равносильность и законы де Моргана».

Твой путь начинается с личного кабинета

Взрослый создаёт аккаунт для себя и отдельные кабинеты для детей. У каждого — свой прогресс и 5 пробных дней обучения без ограничения минут.

Войти или начать бесплатно
Учебное время начнёт считаться после нажатия
Понять — интереснее, чем запомнить.
Разберёмся перед практикой+

Таблица истинности: проверяем все случаи

Таблица истинности перебирает все сочетания значений независимых переменных. Для n переменных в двузначной логике нужно 2ⁿ строк. Это не число наблюдений о реальном мире, а число формальных случаев, позволяющее не пропустить комбинацию.

Выражение вычисляют по устройству формулы: сначала внутренние скобки, затем внешние связки. Промежуточные столбцы снижают риск ошибки. Удобен постоянный порядок строк, например для A, B: ИИ, ИЛ, ЛИ, ЛЛ. Смешение порядка строк создаёт ложные «совпадения» формул.

Тавтология истинна во всех строках, противоречие ложно во всех. Остальные формулы истинны на части наборов. Выполнимой называют формулу, истинную хотя бы на одном наборе; тавтология тоже выполнима. Эти свойства относятся к формуле, а не к её полезности в житейском разговоре.

Для проверки аргумента ищут строки, где одновременно истинны все посылки. Если в одной из них заключение ложно, найден контрпример. Если при полном переборе таких строк нет, переход корректен. Строки с ложной посылкой не опровергают корректность, каким бы ни был вывод.

ABA → BИИИИЛЛЛИИЛЛИ
Полная таблица импликации A → B. Для наборов ИИ, ИЛ, ЛИ, ЛЛ результаты соответственно И, Л, И, И. Единственное нарушение: истинное A и ложное B.

Рисунок к заданию

Полная таблица импликации A → B. Для наборов ИИ, ИЛ, ЛИ, ЛЛ результаты соответственно И, Л, И, И. Единственное нарушение: истинное A и ложное B.

Широкий рисунок можно прокручивать пальцем или стрелками клавиатуры. Escape — закрыть.

НА ПРИМЕРЕ

Проверим переход A ∨ B; ¬A; следовательно, B. Нужно найти набор, где две посылки истинны, а B ложно.

  1. Из истинного ¬A следует A=Л.
  2. При A=Л истинность A ∨ B требует B=И.
  3. Попытка сделать B ложным сразу разрушает первую посылку.
  4. Контрстроки нет: переход корректен. Это можно подтвердить полной таблицей из четырёх строк.

Загружаем интерактивную модель…

Попробуй самостоятельно

Запиши рассуждения в черновик или сделай построение на бумаге. Эти задания для самостоятельной работы: автоматической проверки и XP за них пока нет.

  1. Объясни, почему одна истинная строка доказывает выполнимость, но не тавтологичность.
  2. Выбери простое правило из двух условий. Составь таблицу, попроси другого человека отметить разрешённые случаи и сравни результат с твоим прочтением текста.

Читай и разбирай пример в своём темпе. К практике можно перейти, когда будешь готов.