Прямое доказательство, случаи и противоречие
Выбирать структуру доказательства · Проверять полноту разбора случаев
В этом занятии
- Выбирать структуру доказательства
- Проверять полноту разбора случаев
- Понимать роль временного предположения
Пригодится: Рекомендуем сначала пройти «Категории и силлогизмы: не теряем существование».
Разберёмся перед практикой+
Прямое доказательство, случаи и противоречие
Прямое доказательство идёт от посылок к заключению по обоснованным шагам. Полезно для каждой строки указать источник: условие задачи, определение, ранее доказанный факт или разрешённое правило вывода. Фраза «очевидно» не должна скрывать именно тот переход, который требуется проверить.
В доказательстве по случаям область делят на варианты, которые совместно охватывают всё допустимое. Для целого числа варианты «чётное» и «нечётное» полны. Проверить только положительные и отрицательные целые — недостаточно: потерян ноль. Случаи могут пересекаться, если все нужные выводы установлены, но пропускать допустимые объекты нельзя.
Доказательство от противного в классической логике временно предполагает отрицание цели. Если из этого предположения вместе с принятыми посылками получается противоречие, предположение снимают и принимают цель. Противоречие должно зависеть от временного предположения; заранее несовместимые исходные посылки не дают содержательного обоснования фактов.
Есть также доказательство через контрапозицию: вместо A → B доказывают ¬B → ¬A. Это равносильный переход, а не утверждение обратного B → A. Выбор способа определяется структурой задачи: иногда запретный случай виден проще, чем прямое следование.
Почему произведение двух последовательных целых чисел n(n+1) чётно?
- У целого n есть два исчерпывающих случая: n чётно или n нечётно.
- Если n чётно, произведение содержит чётный множитель n.
- Если n нечётно, n+1 чётно, и произведение содержит чётный множитель n+1.
- В каждом случае произведение чётно; других случаев для целого n нет.
Попробуй самостоятельно
Запиши рассуждения в черновик или сделай построение на бумаге. Эти задания для самостоятельной работы: автоматической проверки и XP за них пока нет.
- Найди ошибку в разборе «любое целое число положительно или отрицательно». Исправь разделение на случаи.
- Выбери короткое правило проекта и попытайся доказать его следствие двумя способами: прямо и через запретный случай. Отметь временные предположения.
Читай и разбирай пример в своём темпе. К практике можно перейти, когда будешь готов.