Строим и проверяем доказательствоЛогика / Проверять допустимость каждой операции Пробное занятие
Логика · шаг 16 из 32

Проверка рассуждения: пропущенный шаг и инвариант

Проверять допустимость каждой операции · Отличать пример от общего доказательства

Около 18 минут 5 задач Подсказки рядом

В этом занятии

  • Проверять допустимость каждой операции
  • Отличать пример от общего доказательства
  • Использовать сохраняющееся свойство для проверки достижимости

Пригодится: Рекомендуем сначала пройти «Прямое доказательство, случаи и противоречие».

Твой путь начинается с личного кабинета

Взрослый создаёт аккаунт для себя и отдельные кабинеты для детей. У каждого — свой прогресс и 5 пробных дней обучения без ограничения минут.

Войти или начать бесплатно
Учебное время начнёт считаться после нажатия
Понять — интереснее, чем запомнить.
Разберёмся перед практикой+

Проверка рассуждения: пропущенный шаг и инвариант

Проверка готового доказательства начинается с точной цели и области. Затем для каждого перехода спрашивают: из каких строк он получен и какие условия нужны операции? Деление на выражение допустимо только при его ненулевом значении; подстановка частного числа не доказывает утверждение обо всех числах.

Часто ошибка прячется не в вычислении, а в незаметно добавленном предположении. Например, из (x−2)(x+1)=0 можно рассмотреть два множителя. Если сразу разделить на x−2, потеряется случай x=2. Верная операция должна сохранять все допустимые решения или явно сопровождаться отдельным рассмотрением исключённых случаев.

Инвариант — свойство, сохраняющееся при каждой разрешённой операции. Если за ход к целому числу добавляют или вычитают 2, его чётность не меняется. Это позволяет доказать невозможность некоторых переходов без перебора длинных цепочек действий.

Инвариант даёт необходимое условие достижимости, но не всегда достаточное. Совпадение чётности ещё не гарантирует достижимость, если дополнительно ограничены число ходов, диапазон или направление действий. После найденного запрета отдельно проверяют, что действительно разрешено правилами задачи.

4681012Каждый ход: +2 или −215 — вне цепи
Разрешённые ходы плюс 2 или минус 2 связывают чётные числа 4, 6, 8, 10, 12. Нечётное 15 не достигается из 8: чётность сохраняется при каждом ходе.

Рисунок к заданию

Разрешённые ходы плюс 2 или минус 2 связывают чётные числа 4, 6, 8, 10, 12. Нечётное 15 не достигается из 8: чётность сохраняется при каждом ходе.

Широкий рисунок можно прокручивать пальцем или стрелками клавиатуры. Escape — закрыть.

НА ПРИМЕРЕ

Стартовое число 8. Разрешено прибавлять или вычитать 2 любое конечное число раз. Можно ли получить 15?

  1. 8 чётно.
  2. Прибавление и вычитание 2 сохраняют чётность целого числа.
  3. После каждого разрешённого хода число остаётся чётным.
  4. 15 нечётно, поэтому получить его невозможно; длина перебираемой цепочки не имеет значения.

Попробуй самостоятельно

Запиши рассуждения в черновик или сделай построение на бумаге. Эти задания для самостоятельной работы: автоматической проверки и XP за них пока нет.

  1. Объясни ошибку деления на x−2 при x=2. Сформулируй безопасное действие с отдельным разбором этого случая.
  2. Придумай игру с жетонами, где один ход меняет количество на 2. Найди сохраняющееся свойство и цель, которую оно запрещает. Затем добавь ограничение, чтобы одного совпадения чётности стало недостаточно.

Читай и разбирай пример в своём темпе. К практике можно перейти, когда будешь готов.