Равносильность и законы де Моргана
Проверять равносильность во всех случаях · Правильно отрицать составные условия
В этом занятии
- Проверять равносильность во всех случаях
- Правильно отрицать составные условия
- Различать равносильность и совпадение в одном примере
Пригодится: Рекомендуем сначала пройти ««Если», необходимое и достаточное».
Разберёмся перед практикой+
Равносильность и законы де Моргана
Две формулы равносильны, если имеют одинаковые значения при каждом допустимом наборе значений переменных. Совпадение на одной проверке недостаточно. Утверждение A ↔ B выражает двустороннюю связь: одновременно A → B и B → A; оно истинно, когда значения A и B совпадают.
Законы де Моргана объясняют отрицание групп условий. ¬(A ∧ B) равносильно ¬A ∨ ¬B: не выполнены оба вместе, значит, хотя бы одно не выполнено. ¬(A ∨ B) равносильно ¬A ∧ ¬B: неверно, что выполнено хоть одно, значит, не выполнено ни одно.
При переносе отрицания внутрь скобок меняется связка и отрицается каждая часть. Нельзя оставить «и» на месте, получив из «не оба» фразу «ни одного». Например, отсутствие полного комплекта не означает отсутствие каждого предмета комплекта.
Импликацию удобно переписать: A → B равносильно ¬A ∨ B. Эта запись помогает проверять условия и строить таблицы, но не превращает формальное правило в объяснение причины. Равносильные формулы сохраняют те же допустимые ситуации, хотя могут быть по-разному удобны для чтения.
Полный набор содержит паспорт задачи A и макет B. Сообщение «набор неполный» означает ¬(A ∧ B). Как перечислить возможные причины?
- Отрицается совместное наличие двух частей, а не каждая часть по отдельности.
- Применяем де Моргана: ¬A ∨ ¬B.
- Не хватает паспорта, либо макета, либо обоих — все три случая подходят.
- Формулировка «нет ни паспорта, ни макета» слишком сильна: она исключает два допустимых случая.
Загружаем интерактивную модель…
Попробуй самостоятельно
Запиши рассуждения в черновик или сделай построение на бумаге. Эти задания для самостоятельной работы: автоматической проверки и XP за них пока нет.
- Проверь утверждение «не все документы подписаны» на примере, где два подписаны, а один нет. Почему фраза «все документы не подписаны» может ввести в заблуждение?
- Перепиши правило доступа двумя равносильными способами. Прогони все четыре комбинации двух признаков, чтобы убедиться, что разрешённые случаи не изменились.
Читай и разбирай пример в своём темпе. К практике можно перейти, когда будешь готов.