«Все», «некоторые», «ни один»
Переводить общее утверждение в правило для объекта · Правильно отрицать «все» и «существует»
В этом занятии
- Переводить общее утверждение в правило для объекта
- Правильно отрицать «все» и «существует»
- Не выводить существование из пустой категории
Пригодится: Рекомендуем сначала пройти «Множества: принадлежать, пересекаться, включаться».
Разберёмся перед практикой+
«Все», «некоторые», «ни один»
Квантор ∀ читается «для каждого», ∃ — «существует хотя бы один». Высказывание ∀x P(x) требует свойства у каждого объекта выбранной области; ∃x P(x) — хотя бы у одного. Логическое «некоторые» не обязательно означает «не все»: все объекты тоже могут удовлетворять фразе «есть хотя бы один».
Для отрицания общего утверждения достаточно одного исключения: ¬∀x P(x) равносильно ∃x ¬P(x). «Не все карточки пронумерованы» означает наличие карточки без номера, а не отсутствие номеров у всех. Отрицание существования, напротив, охватывает каждого: ¬∃x P(x) равносильно ∀x ¬P(x).
Фраза «все A обладают B» обычно записывается ∀x(A(x) → B(x)). Она не утверждает, что объекты A вообще существуют. Если в списке нет красных карточек, правило «каждая красная карточка пронумерована» не нарушено, но заключать «есть пронумерованная красная карточка» нельзя.
Для существующего объекта связь признаков иная: «есть A, обладающее B» означает ∃x(A(x) ∧ B(x)). При работе с реальными данными важно различать отсутствие найденного объекта и доказанное отсутствие объекта. Полностью проверенный конечный список позволяет сделать более сильный вывод, чем случайная выборка.
В списке пять файлов. Четыре подписаны, один не подписан. Утверждение «все файлы подписаны» ложно, но утверждение «ни один файл не подписан» тоже ложно.
- Область обсуждения — ровно эти пять файлов.
- Один неподписанный файл опровергает общее утверждение.
- Четыре подписанных файла показывают, что отрицание «все» не означает «ни один».
- Точное отрицание: существует хотя бы один неподписанный файл.
Загружаем интерактивную модель…
Попробуй самостоятельно
Запиши рассуждения в черновик или сделай построение на бумаге. Эти задания для самостоятельной работы: автоматической проверки и XP за них пока нет.
- Переведи фразу «некоторые участники умеют рисовать» в логическое значение и в возможный бытовой смысл «но не все». Укажи, какого дополнительного условия требует второй смысл.
- Проверь правило для пустой категории: в наборе нет круглых деталей. Что можно сказать о правиле «каждая круглая деталь синяя» и о существовании синей круглой детали?
Читай и разбирай пример в своём темпе. К практике можно перейти, когда будешь готов.